Table of Contents:
| Vorwort | i | |||
| 1 | Vollständige Induktion | 1 | ||
| 1.1 | Das Prinzip der vollständigen Induktion | 1 | ||
| 1.2 | Die Bernoullische Ungleichung | 3 | ||
| 1.3 | Die Binomialkoeffizienten | 4 | ||
| 1.4 | Kombinatorische Bedeutung der Binomialkoeffizienten | 6 | ||
| 1.5 | Das Summenzeichen | 7 | ||
| 1.6 | Binomischer Lehrsatz | 8 | ||
| 2 | Ungleichungen und Beträge | 11 | ||
| 2.1 | Der Absolutbetrag | 12 | ||
| 2.2 | Der Begriff Monotonie | 16 | ||
| 2.3 | Die Vollständigkeit von \(\mathbb{R}\) | 18 | ||
| 2.4 | Das Monotoniekriterium für Folgen | 18 | ||
| 3 | Grenzwerte | 21 | ||
| 3.1 | Definition eines Limes | 21 | ||
| 3.2 | Die Differentation | 27 | ||
| 3.3 | Grundregeln der Differentation | 29 | ||
| 4 | Wichtige Funktionen | 33 | ||
| 4.1 | Die Exponentialfunktion im Reellen | 33 | ||
| 4.2 | Der natürliche Logarithmus | 36 | ||
| 4.3 | Die allgemeine Potenz im Reellen | 40 | ||
| 4.4 | Polynome | 42 | ||
| 4.4.1 | Identitätssatz für Polynome | 45 | ||
| 5 | Existenzsätze | 47 | ||
| 5.1 | Der Satz von der Intervallschachtelung | 47 | ||
| 5.2 | Der Satz von Bolzano-Weierstraß | 47 | ||
| 5.3 | Der Satz vom Maximum und vom Minimum | 49 | ||
| 5.4 | Der Zwischenwertsatz | 50 | ||
| 5.5 | Die Umkehrfunktion | 51 | ||
| 5.6 | Lokale Extrema | 54 | ||
| 5.7 | Der Satz von Rolle | 55 | ||
| 5.8 | Der Mittelwertsatz | 55 | ||
| 6 | Anwendungen des Mittelwertsatzes | 57 | ||
| 6.1 | Monotonie, lokale Extrema, Konvexität | 57 | ||
| 6.1.1 | Das Monotoniekriterium der Differentialrechnung | 57 | ||
| 6.1.2 | Kriterium für strikte lokale Extrema | 58 | ||
| 6.1.3 | Konvexitätskriterium | 59 | ||
| 6.2 | Die Höldersche Ungleichung | 60 | ||
| 6.3 | Das Newton-Verfahren | 62 | ||
| 6.4 | Der erweiterte Mittelwertsatz | 64 | ||
| 6.5 | Die Regel von de l’Hospital | 65 | ||
| 6.6 | Die Taylorsche Formel | 66 | ||
| 6.6.1 | Die Exponentialreihe | 68 | ||
| 6.6.2 | Die Logarithmus-Reihe | 69 | ||
| 6.6.3 | Die Binominalreihe | 71 | ||
| 7 | Schwingungsgleichung und Winkelfunktionen | 73 | ||
| 7.1 | Zwischenabschnitt über Potenzreihen | 76 | ||
| 7.1.1 | Das Konvergenzkriterium von Leibniz | 77 | ||
| 7.1.2 | Satz zum Konvergenzradius | 78 | ||
| 7.1.3 | Ein Kriterium zur Bestimmung des Konvergenzradius | 79 | ||
| 7.1.4 | Die Ableitung einer Potenzreihe | 80 | ||
| 7.2 | Umkehrfunktionen | 84 | ||
| 7.2.1 | Anschauliche Bedeutung der Winkelfuntionen Sinus und Cosinus | 86 | ||
| 8 | Die Ebene und ihre affinen Abbildungen | 89 | ||
| 8.1 | Drehungen um den Ursprung | 91 | ||
| 8.2 | Die elementargeometrischen Sinus und Cosinussätze | 92 | ||
| 8.3 | Das Skalarprodukt | 93 | ||
| 8.4 | Hessesche Normalform einer Geraden | 96 | ||
| 9 | Die komplexen Zahlen | 101 | ||
| 9.1 | In \(\mathbb{C}\) gilt das Cauchy-Kriterium | 106 | ||
| 9.1.1 | Satz von Moivre | 107 | ||
| 9.2 | Fundamentalsatz der Algebra in \(\mathbb{C}\) | 108 | ||
| 9.3 | Partialbruchzerlegung | 111 | ||